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《巫师3》【密技】游戏机制的数字分析

2020-10-31 19:22:32来源:巴哈姆特发布:SugarDaddie (mono)

SugarDaddie (mono) #1
CC
2020-03-23 04:24:49

前言:

&&&&我从HomeComing(简称HC)回坑的时候就有一些想法,酝酿了很久。

&&&&HC的更新增加了费用这个性质,我认为这个项目是一个很重要的平衡基準,任何卡牌都可以用性价比来参考,许多掀桌等级的卡片受到了限制,大大提升了游戏平衡。

&&&&HC初期,我刚回坑,看数字就能发现有很多卡牌不平衡,出于洁癖完全不想使用,例如当初的三基佬、Roach、双独角兽。

&&&&这类性价比过高的卡片在现代也是有,但都被当作各阵营的权力。中立的卡片就算很高效万用,但也不是所有牌组都适用。例如Decree、Matta。我在今年一月底,第二次回坑以后,就觉得这游戏的平衡比以前更好了。

&&&&以下就是我对于这个游戏机制的看法与分析。

&&&&另外,欢迎加入台湾昆特Discord群组一起讨论。


目录
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看较旧的 21 则留言

mono: 04-08 15:41

[seeyouagain2:晴空骄阳] 有些情况不能太早跑路,因为滤牌量少,他们会有较多能当垃圾丢的金卡

mono: 04-15 23:35

2020/4/15,补充了一些说明。

mono: 05-29 01:15

2020/5/29,补充滤牌与调度的一些影响(7楼)。

SugarDaddie (mono) #2 2020-03-25 05:22:32
决斗


&&&&关于决斗的机制,游戏中我们只关心两种问题:

&&&&1、让两个敌人单位决斗该如何最大化收益?
&&&&2、我的单位发动决斗该如何最大化收益?



&&&&先给出懒人包答案
&&&&1、两个敌人决斗,战力比愈接近黄金分割比,收益愈大。
&&&&2、我的单位找敌人决斗,敌方单位的战力(血量)要介于「承受第一下伤害刚好死掉」与「承受第二下伤害刚好死掉」之间,或是敌方单位血量界于我方单位血量的1到1.5倍之间,最大收益等于发动决斗单位的点数




&&&&以下有兴趣再继续看,后面都是证明。




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&&&&第一个问题的结论,与黄金分割比例有关(α=1.618...),需要用到斐波那契数列,所以我先用word文件截图说明其基础。

&&&&
--------------------------------------------------------------------------------

&&&&沿用上面的符号,以下说明存活血量的比例是有界的,且两种数列会跑向同一个极限。

--------------------------------------------------------------------------------

&&&&
--------------------------------------------------------------------------------

&&&&第一个问题,敌方两个单位决斗,该如何最大收益?

--------------------------------------------------------------------------------

&&&&

&&&&&两个序列分别在α的两端,所以x不可能同时属于两种序列,只有在k极大的时候两个序列才会接近α,所以尽量取两个单位的比例接近α( 黄金比例1.618 : 1 )即可。


--------------------------------------------------------------------------------


&&&&第二个问题,我方单位发动决斗,该找哪种战力(血量)的敌方单位可以最大化收益?


--------------------------------------------------------------------------------




&&&&k=1的意义就是敌方单位吃我第二次伤害会死掉,吃我第一次伤害不死(或刚好死掉)。

&&&&这里很简单,仔细想想就可以知道了,但是有时候还是会被迷惑到。



&&&&举个例子,我方把安赛斯王子增益到8点的战力,敌方有两个非引擎单位,分别为7点与12点。

&&&&打7点的单位,收益 = 7。
&&
&&&&打12点的单位,收益 =12 - (8-(12-8)) = 8 。

&&&&纯粹就点数考量,该打12点的单位。(我知道有很多玩家会选择打7)

&&&&但是打牌的时候没有那时间加加减减慢慢判断。

&&&&有一个简单的判断方法,就是:敌方单位血量界于我方单位血量的1到1.5倍之间。

看较旧的 1 则留言

TF超级鲔鱼: 03-25 08:05 编辑

封测时期的伊欧菲斯小抄:https://www.reddit.com/r/gwent/comments/7sug5r/a4_iorveth_cheat_sheet/?utm_medium=android_app&utm_source=share

mono: 03-25 10:59

这个表格厉害,的确,我记得那时候很多论坛都有人讨论知道是1.618倍

mono: 03-25 11:02

那时候我就有点想试试看能否完整证明

SugarDaddie (mono) #3
CC
2020-03-31 06:23:36

此文章已由原作者(SugarDaddie)删除

SugarDaddie (mono) #4 2020-04-08 02:18:45
Mulligan(调度)


&&&&好像都翻译为调度,总之就是换牌的机会,先假设玩家没有特殊需求,就只是单纯想把低费牌调走,留下高费牌。

&&&&当下想探讨每个调度动作可以换成多少费用的期望值,以及长短局是否对调度效率有影响。

&&&&因为积分很麻烦,为了方便,假设玩家的牌组(每轮开始时剩余手牌与牌堆)费用分布为X~unif(a,b)

&&&&这种模型与实际情况差很多,首先,很多牌组不能用均匀分布概括,其次,「剩余手牌与牌堆」的分布也会受到上一轮的出牌方式而影响,手牌与牌堆会有不同(严格说起来只有发牌的时候一样),但为了方便,全部假设一样,只为了让模型简单(我只会算这种)。

&&&&这n个样本是手牌,当下我想把最小的调度走,增加的费用量为

&&&&这个数字可以看出两件事。

&&&&首先,牌组的标準差愈高,调度的效率愈高。所以自己组牌的时候,想要让调度更高效,可以多带极高费用的王牌。

&&&&其次,当下所剩的手牌n,可以视为此轮的长局潜力,由此可知,n愈高,调度的效率愈高,这点说明了,剩余手牌数量愈多,调度效率愈高。

&&&&举例说明,几乎没有滤牌的牌组,最喜欢的情况就是,前两轮都只有短短3回合,最后一回合则长达10回合以上。

&&&&所以,当遇到长局牌组时,若看到对面的长局组件而不敢拚第一轮,早早放弃,通常是对面最想遇到的情况。(现在市面上长局牌组的滤牌量通常带得不多)

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&&&2020/4/15,补充一点,考虑均匀分配的形状不符合昆特常用的牌组费用分配,指数分配比较像牌组费用的分布。
&&&&
&&&&最低费用为a,总费用固定。


&&&&结果也一样,标準差愈大或n愈大,调度效率愈高。


pythonforgam (加藤老婆 智乃女儿) #5 2020-04-08 12:37:02
佬,请问一下,如果不带抽滤,一张牌沉底的机率是56%吗?

我刚刚算的不知道对不对
SugarDaddie (mono) #6 2020-04-16 01:07:25
滤牌



&&&&我所认知的滤牌,任何方法,只要把牌堆中的牌挪动到其他地方,都是滤牌。

&&&&包含了:弃一张牌抽一张牌、打一张牌抽一张牌、从牌堆抓出打出、从牌堆召唤 等等

&&&&为了方便分析,先忽略调度的影响,只看滤牌。

&&&&假设战力能发挥出等同或多于其费用,就算是高效率(或高性价比)。

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&&&&用压缩牌组的观点,把相关的滤牌压缩为一张牌,并扣除该压缩的总费用。

&&&&假设牌堆数=N,该压缩的滤牌数=n (也就是把n+1张牌压缩为1张)。

&&&&愈使此滤牌有效率,则须使 「压缩后的平均费用」 >&&「压缩前的平均费用」

&&&&(总费用 - 该压缩的费用和 + 该压缩的效益) / (N-n)&&&>&&&总费用 / N

&&&&化简后可得: ( 该压缩的费用和 - 该压缩的效益 ) / n&&<&&总费用 / N&&= 平均费用

&&&&( 该压缩的费用和 - 该压缩的效益 ) / n 则代表平均滤牌消费。例如传送门滤两张4费,计算式为(13+4+4-4-4) / 2 = 6.5。

&&&&因此只要平均滤牌的耗费 < 平均费用,就是有效率的滤牌。

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&&&&以下举例都只以压缩牌组的观点,不考虑其他因素(调度、combo效率)。



&&&&假设总费用为165,则平均费用约为6.6。

&&&&举个例子,我用Ermion打出牌库中的蝎毒,假设所有的牌都有完全打出其效率,蝎毒打了6点伤害,Ermion本身两点战力,总共8点战力,但是这个费用怎幺算?
&&&&比较公平的算法应该是全部都算,Ermion=8费 、蝎毒=6费,总共14费,只打出6+2的战力,那幺亏损由哪弥补?
&&&&因为平均费用是6.6,现在打出牌堆中的一张6费,变相的相当于让剩余牌堆的平均值增加了。所以要扣掉平均费用,才是这一回合的真正费用,也就是14 - 6.6 = 7.4费。7.4费可以打出8战力(或更高),效率极高。

&&&&各阵营都有一张8费2战力,能力都是打出牌堆中的一张牌,以这种方法计算,这类8费2战力的牌的效率都是极高的。

&&&&
&
&&&&以这张为例,13费用打出两张陷阱先不论松鼠党的大多平均费用是否有达到6.6,假设有,6.6+6.6=13.2,看似大约平价,但万一打出的陷阱不合时宜,就结果来说非常亏,变成为了滤牌而滤牌,胡乱爆发,消耗牌堆潜力的动作。所以这张很少人在用了(除了我以外)。&&&
&&&&同样的道理也可以套用在传送门,传送门拉出来的东西一定是要有用的,不然就是亏损,不要为了滤牌就乱带传送门。



&&&&再举例,罗契的光头召唤牌堆里的两个光头,假设不考虑领袖能力,单只看此牌所提供的点数。

&&&&罗契本身4战力+2伤害,生成的光头4战力,召唤牌堆当中两张光头4+4,总共18战力,总费用为12+6+6=24,扣除6.6 x 2 = 13.2 (妹控王的平均费用是6.6),所以罗契本身的性价比约为11费18战力,非常高 (换句话说Foltest的领袖能力可以让罗契的实质战力高出费用7点)。



&&&&怪兽的Naglfar兼具抓牌与节省未来调度的功用,9费虽然高但非常值得。
&&&&但我刚回坑的时候有遇过某些玩家很喜欢用这种combo:先出Naglfar,打出丹德里恩,再用丹德里恩打出另一张金卡。

&&&&这种行为让Naglfar的效率完全浪费掉了,为了下回合留的牌现在出掉,然而多一张丹德里恩4战力在场上看似当下赚到,但实际上丹德里恩的位置完全可以塞进一只大怪兽。
&&&&浪费未来潜力,把Naglfar变成一张单纯的9费滤牌已经很浪费了,而丹德里恩的效率亏损大约为12-4-6.6=1.4。
&&&&
&&&&费用=9+12+x,战力=4+x,粗略估计,21+x-4-x-6.6-6.6 = 3.8,总共亏了3.8费用。

&&&&

&&&&&最后,比较群岛的弃牌领袖能力与下个月即将推出的新能力。

&&&&弃牌领袖能力。每轮弃一张抽一张,打出一点伤害。假设弃掉的是4费牌。平均牌费为166/25=6.64,每次的弃牌动作就相当于清理一张4费牌,4 - 6.64 = -2.64 ,这要换个想法,2.64的费用换算为2.64战力,再加上1点伤害,也就是3.64战力,三局加起来大约有11点战力,这个领袖能力在数据上其实不输给大多领袖能力。

&&&&群岛领袖能力荣耀焰:「把牌堆中的单位挪到坟场,打出该单位同战力点数的伤害。总费用为165。」用我建议的算法,战力减费用,再加6.6,例如茱塔,8费12战力,领袖能力用在她身上相当于10.6,不算特别高但也不差。如果用在乌鸦之母身上,假设三轮都有使用炼金术召唤乌鸦之母,那幺首轮就用领袖能力把乌鸦之母挪到坟场的效率=4+4+4+4-10+6.6=12.6,这样看来则是非常高,但如果首轮有抽到乌鸦之母,不该为了这个动作而把乌鸦之母调度走(毕竟乌鸦之母本身是高战力的牌),应该要替领袖能力準备其他的备用方案。

&&&&当然这只是理论上的分析,实战上还要考虑爆发力与combo等因素。
一刀芎境: 04-16 09:24

买通比较不固定值因为他是看角色 脸一黑就是三张铜了 (望向某人)

加藤老婆 智乃女儿: 04-16 11:06

辛迪加就算被买通也没差,反正对面没钱,或是有钱也没用。只要不要被拿到嬉皮就好

mono: 04-16 11:30

可以先存钱,像是这样:https://truth.bahamut.com.tw/s01/202004/8e0ae8729778b715cbadae8b6310d374.JPG?w=300

SugarDaddie (mono) #7 2020-05-29 01:06:44
调度与滤牌之间的影响

&&&

&&&&根据前面的结果,调度的效率与当下的标準差成正比。

&&&&把调度与滤牌结合分析的部分,因为滤牌方式的种类太多,没办法用单一原则去分析。

&&&&但大概想想就能知道,大多数滤牌效果,都会降低标準差。

&&&&简略举例。



&&&&1、

&&&&如果有一种滤牌,平价的滤,没有CarryOver,也没有消耗未来潜力,则标準差不变,例如:用Ermion拉出蝎药、Raiding fleet拉出战船、John Natalis拉出滚油。

&&&&如果是带有Carryover性质的卡,例如传送门,13费拉出4+4(或许因为有双引擎,点数再多一),当下大约是一张9费的卡,而本身的位置是13费,这张牌很明显降低了标準差,也使整体调度效率降低了。

&&&&根据变异数的特性(方均减均方),拉牌的发动牌,如果愈高,降低的标準差也会愈多。


&&&&t 为CarryOver的耗费(例如传送门13只能拉出8,那幺 t 就是5)。

&&&&CarryOver是指把效率留给未来的方式,在滤牌的类型当中,最简单的就是滤出垃圾,例如弃牌。

&&&&因为是发动牌的费用,一定比 t 高,如果也比平均数高,则变异数是降低的,调度效率降低。
&&&&根据式子,t 最好不要太大,且最好不要比平均费用高太多(甚至低于平均更好),这样才能有效配合调度。

&&&&现在这个时代是调度为王的,滤牌都以低价平价为主(群岛的乌鸦或Raiding fleet),高费滤牌(传送门、Roche)因为会影响调度效率,强度都不如纯调度。


&&&&2、

&&&&Royal Decree这张牌,假设玩家都是拿来拉牌堆中最大的牌,只考虑尚未使用的时候,牌局愈后期,decree的效益愈低,如果拖到最后一轮,甚至有可能拉出来的不满10点。但是如果愈前期用,当下效益极高,消耗的却是牌堆中的巨金潜力。

&&&&喜欢放在后期用,降低标準差,降低整体调度效益。喜欢放在前期用,降低未来调度效益。

&&&&从这点看来,这张卡不够好,但我说的前提根本就是错的。

&&&&因为Decree这张牌的用法,并不是单纯去抓一张大点数。而是根据场面去抓取当下的超模卡。例如:炸弹手、亚登、净化。

&&&&手上有各种变化去针对场面的牌组通常都会带Decree,如果不是这类,Decree的效益不高。


&&&&3、

&&&&会自动跳出来的东西,例如Knickers、Roach。

&&&&这种东西的点数就平均分摊到有可能触发他们的牌上来计算。

&&&&以Roach来说,牠把10的那个位置变成只有3战力,遇到都会调走,而全部的金卡平分多出来的3点。平均点数降低,但是标準差变大。但数据上的调度效益只是体现出脸黑抽到手的天堂地狱差别,并没有对其他手牌的调度真的有帮助。而降低的平均点数也是平白吃亏。

&&&&通常只有特殊打法的牌组才会带这类型的滤牌。(例如Lippy)
SugarDaddie (mono) #8 2020-05-29 09:52:57
竞技场



&&&&竞技场通常达到几胜才算强?大家平均都几胜?

&&&&先假设玩家没有弃权。都会打完。

&&&&一场对局会产生1胜与1败。所以总体胜场数=总体败场数。

&&&&那幺平均胜场数 = 平均败场数。

&&&&问题就简化为探求平均玩家平均败场为多少。

&&&&很明显,因为3败淘汰制。所以平均败场数一定不可能大于3。

&&&&到这里就能很明确的知道大家的平均胜场数会比3小一点点。

&&&&在添加一个假设,如果所有玩家对局都是胜率持平,那幺用期望值去算的出的结果就是2.95459。

&&&&0败:机率为0.5^9。
&&&&1败:9胜1败。因为最后一场必定是胜利,所以有9种排列方式,机率为9*0.5^10。
&&&&2败:9胜2败。因为最后一场必定是胜利,所以有10*9/2=45种排列方式,机率为45*0.5^11。
&&&&3败:把前两者的机率用1去扣除。机率为1-0.5^9-9*0.5^10-45*0.5^11。
&&&&期望值:1*(9*0.5^10)+2*(45*0.5^11)+3*(1-0.5^9-9*0.5^10-45*0.5^11)=2.95459

&&&&大家的平均胜场大约就是2.95459,如果有人中途弃权,那就更低了。

&&&&不用再觉得:「我好弱喔,竞技场平均只有5胜。」


SugarDaddie (mono) #9 2020-05-29 10:28:35
价值估计



完全不带滤牌与检索,只靠调度找一张卡:

&&&&首轮抽10张,关键牌没到手的机率是1-[C(24,9)/C(25,10)]=0.6
后手有2次调度机会,没抽到的机率=0.6*(14/15)*(13/14)=0.52
先手有3次调度机会,没抽到的机率=0.6*(14/15)*(13/14)*(12/13)=0.48

&&&&如果首轮没抽到 且 完全不滤,次轮牌堆15张抽3张,关键牌没到手的机率=1-[C(14,2)/C(15,3)]=0.9
再考虑2次调度机会,没换到手的机率=0.9*(11/12)*(10/11)=0.75

&&&&如果前两轮都没抽到,末轮没到手的机率 = 1-[C(8,2)/C(9,3)]=2/3
再考虑2次调度机会,没换到手的机率=(2/3)*(8/9)*(7/8)=14/27

&&&&后手不滤,到最后一轮王牌沉海底的机率=0.52*0.75*(14/27)= 20.22%

&&&&先手不滤,到最后一轮王牌沉海底的机率=0.48*0.75*(14/27)= 18.67%


Bribery:

&&&&从对面牌组中选3张单位,假设大家永远选最高费用。

&&&&取牌组分布为指数分布,最接近低费多的形状。因为最低费为4费,所以向右平移4格,后面讲的平均费用都要扣除4再比较。


&&&&此处可得知买通可以有11/6倍的平均费用。

&&&&假设总费用都是165,平移后的平均费用6.6-4=2.6。

&&&&4+2.6*11/6 = 8.77。

&&&&在极度高估的情况下,8费的Bribery,可拿到的期望值不超过8.77费。

&&&&为何这是高估的?

&&&&首先,採用指数分配的标準差太大,会让Bribery高估许多。

&&&&因为只能抓单位,高费法术不会被抓到。实际上要更低更低。

&&&&而且期望值不到9p的单位也不一定能发挥出战力,例如一些需要combo的东西。

&&&&国外论坛上那些吹捧抱怨Bribery的都只是倖存者偏差。Bribery不该被改弱。


凤凰在竞技场中的价值:

&&&&只说明在竞技场的价值。26张,所以和一般场不太一样。

&&&&首轮抽10张,关键牌没到手的机率是1-[C(25,9)/C(26,10)]=8/13
后手有2次调度机会,没抽到的机率=0.6*(15/16)*(14/15)=7/13
先手有3次调度机会,没抽到的机率=0.6*(15/16)*(14/15)*(13/14)=0.5

&&&&如果首轮没抽到 且 完全不滤,次轮牌堆15张抽3张,
关键牌没到手的机率=1-[C(15,2)/C(16,3)]=13/16
再考虑2次调度机会,没换到手的机率=(13/16)*(12/13)*(13/14)=39/56=0.696

&&&&如果前两轮都没抽到,末轮没到手的机率 = 1-[C(9,2)/C(10,3)]=0.7
再考虑2次调度机会,没换到手的机率=0.7*(9/10)*(7/8)=411/800

&&&&首轮抽的价值当作12,次轮为8,末轮为4,没抽到手的情况则不去计算,用这样看期望值。

&&&&先手:12*0.5 + 8*0.5*(13/16) + 4*0.5*(13/16)*(411/800) = 10.085

&&&&后手:12*(6/13) + 8*(6/13)*(13/16) + 4*(6/13)*(13/16)*(411/800) = 9.31

&&&&两者平均:大约9.697。
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