《明日方舟》【情报】以数学分析方舟抽卡出货这件事

2021-04-04 09:22:40来源：巴哈姆特发布：heckt0217 (檸檬辣椒咖哩碰)

heckt0217 (柠檬辣椒咖哩碰) #1 2021-03-26 16:07:58

本人第一次发文，难免疏漏或错误，请不吝提出指正
回复及发言请保持理智，或服用理智萃取液后再行观看
板规#3的部分，目前未在板上发现从相同角度分析卡池机率的文

本文欢迎以任何方式传播，传群组、社团、梗图、记忆、背诵皆可，不必注明出处
――一切都是为了拯救更多的生命。
还有钱包。我的钱包。
正文开始
==============================================================================

这文的目的在于分析抽到某特定加倍干员(1张六星)的抽数期望值，可以用作屯抽参考、对现有加倍角的强度和机会成本分析，还有根本上了解明日 quot;歪 quot;舟的本质

先说结论:

解说一下这串数字的意义

表格中，所有的数字单位都是 quot;抽 quot;。单up指的是单六星加倍卡池，如台服现行的「雪落晨心」早露池，三服的42卡池等；限定是半年一次的双六星一限定卡池，如「地生五金」、「遗愿焰火」、「月隐晦明」等，我简称为限定池，的则是长驻角双up轮替，我简称为毒池。

回到上面那张图，可以从期望值那列直接看过去，四捨五入得到各卡池的期望值

单up池不歪，出单up角：95抽

毒池两只都没有，不歪，出up角：一样95抽

毒池只想出其中一只up角：189抽

限定池不歪，出up角：68抽

限定池只想出其中一只up角：135抽

(取自萌娘百科)

(烘焙王基德)

这是理想的结果，大数法则下的结论。

实世界则会在我们引入常态分布后露出獠牙

假设各个平行时空的Dr.运气(欧非程度)符合常态分布

→这句话好有喜感我怎幺想到的?

抽单up卡池，68%的Dr.在17~172抽的区间内中奖收工(一个标準差)

95%的Dr.在249抽内中奖收工(两个标準差)

99.7%的Dr.在326抽内中奖收工，哭晕在厕所

的按上表以此类推~

顺便科普一下各卡池的机率，在六星总共2%的机率下，单up加倍角50%，毒池两加倍角分50%，限定池两加倍角分70%，所以...

不要再在双up抽没有的干员了！超毒的好吗，留着抽限定池都能强娶了！

机率上来看啦(茶

双up如果俩干员都没有，跟单up机率上一样，倒是可以安心服用

接下来，让我们再更进一步

0.绪论

前面的数据来的莫名其妙，也没说计算过程，谁敢信?

所以，容我一步步推导

我的机率模型有一个前提，三个假设

前提：抽卡以(A)、(B)两事件分析，(A)事件为「99抽内出六星的抽数期望值」

(B)事件为「该卡池出我要的up干员机率」

假设1.卡池优待「10抽内必出五星以上」，触发时之机率为六星：五星=0.02：0.98

→六星机率与一般普通抽相同

假设2.A，B两事件

→合理的假设......吗~~不如说现在默哀大于心死~~

假设3.双up机率平分

→从大课及数据来看应该正确，不过自由的角不说谁也不知道，~~我是阿 gt; gt; gt; gt; gt; gt; gt; gt;年~~

根据假设，总期望值为 quot;A发生且B发生 quot;的期望值，计为EXP(A∩B)=EXP(A)*EXP(B)

============================================================================

先从(A)下手

各抽机率大概算国高中生程度?写个程式，拉拉excel就能解决，我就不算了

把抽数n乘上机率，得各抽分布，如下图

Sum n*p(n) = EXP(n)得期望值

Var(n) = n^2*p(n) - EXP^2(n)得变异数、标準差

这可以用来预测所谓的保底。

左边座标直轴对应长条图，右边座标直轴对应累计概率点，因为都是机率，没有单位

座标横轴对应抽数，单位是 quot;抽 quot;，往上对应长条图是「在这第n抽出六星的机率」，绿点是「到第n抽为止，累计的机率」

期望值34.59455494→约35抽

标準差20.92940986

回忆刚刚的无限宇宙Dr.抽卡模型，Dr.们符合常态分布

68%的Dr.在57抽内抽到6星

95%的Dr.在65抽内抽到6星

99.7%的Dr.在71抽内抽内抽到6星

其中，最没用，最有诈欺性的数据是期望值，让我举个例子：一个班级十人，五个高材生，五个小天使。某次考试，五个高材生都考100，人都考0分，班平均50低于60分，全班留校察看。

这事例没啥意义，只是想说明极端值的影响。

有算过方舟机率的大概知道，第1抽出6星跟第52抽出6星的机率接近，都是0.02左右，可以说是高于抽。在第1抽的机率高于2~49抽的情况下，平均值易被影响，意义不大。中位数或可成为较好的平均数。

上图中的长条图也可得知，保底在51~65抽触发的机率高于抽。

理智耗尽，有空继续。

改变一个人，要令他相信，然后将信仰摧毁，什幺都挽救不了这样的失败者......这世上不该有所谓 quot;命运 quot;

----塔露拉

看较旧的 29 则留言

白嫖都是狗： 03-30 18:27

就像line群有人限定抽到保底直接用换的，也有像我这样送的十连直接出的，都是命

男孩子比较舒服：前天 11:09

讚

红色月亮： 6 小时前

虽然是正解，不过火有点大

t1026257240 (水之江五月) #2 2021-03-26 16:53:31

heckt0217 (柠檬辣椒咖哩碰) #3 2021-03-26 22:32:48

排版，伤眼抱歉，之后会再编辑

首先，感谢各位的阅读，感谢xdtroll及ye两位的疑问，我可能叙述的不够清楚，那我们把帐算完。

方舟抽卡机制:前50抽0.02，50抽内未出六星，每抽增加0.02机率。

第一抽机率:0.02

第二抽机率:0.98*0.02?

不，0.02

第三抽，第四抽，第五抽....直到第50抽，机率都是0.02

在51抽机率上涨之前，每抽，不分彼此，0.02

但，我有99抽，抽到1张6星后停止，我会在哪抽抽中？

自此，1张卡“1”的机率，散布在99抽中

第1抽完成的机率:0.02

第2抽完成:0.98*0.02

第二抽包含第一抽失败的机率及 quot;第2抽 quot;抽中的机率

第3抽完成:0.98^2*0.02

第50抽前，含50抽，第n抽的机率为0.98^(n-1)*0.02

目前，哪抽的机率最高？

一样0.02

哪抽成功的机率最高？

第1抽，因为1 gt;0.98，而乘越多0.98，值越小

之后的抽先不谈，重点是

我还没开始抽。

本屑博只在脑中模拟而已。

因为抽了之后，袋子开了，白光来了，成功机率最高的0.02不见了，变成0与1，有与没有

而第二抽，不，现在要叫做下一抽，一样0.02，一样成功率最高，着你

一个慌神，你发现你仍在罗德岛舰不知名的高台上，背对着你的秘书，开始思考50抽后的世界。

0.02是个有趣的数字

50抽*0.02理应为1

我应该有只六星干员的

哪里出了什幺状况？

51抽后，机率增加，成功机率也增加

51抽的机率是0.04

在第51抽成功的机率是（1-“50抽失败的机率”）*“51抽成功的机率”

可依此类推，碍于数据、功能，我生不出数据给你，只能请您高抬贵手，打开excel算算看

上面的疑问，你的答案是？

如果你学过微积分，你可以积分1~50抽的面积；如果你打开了excel，你可以用sum做到一样的事

待补

这个数字是

卡池的设计，让你抽到50抽后的可能性大于50抽内结束，保底重製，50抽开抽前，你的确拥有1只六星的期望值，但当你抽了一抽没中，败给了0.02的魔王后，你便不再拥有1只六星的期望值，而是49抽，0.98只六星，接下来

你可能成功了，在某次攻克了0.02的魔王，以勇者或封弊者的名号被传颂着

又或者，失败50次后的你一无所有，灰头土脸的回到家乡。想起父亲遗言中那传说的圣剑，思考要不要去宝地一次

嘛，至少保底的传说不是假的。

再来，是上一篇文的核心概念，期望值

我该期待第几抽出六星？

看了解释，再回去看上面的公式，或许就能理解也说不定...

未完成，收工，下次再见

看较旧的 3 则留言

xdtroll： 03-27 02:56 编辑

所以你的计算’1‘只的机率应该是没错的，但实际上计算机率应该不会这样计算，我猜，不太懂。是这样理解吗？

Timtseng： 03-27 10:11

弱弱的问一下，不连续函数不能积吧，只能用sum

Karkaros： 03-28 14:40 编辑

[timtseng:Timtseng] 或者是说离散函数的积分本来就是加法，回归原本黎曼和的定义

NO3EYES (NO3EYES) #4 2021-03-27 16:50:02

xdtroll
应该说楼主把抽中六星这件事分成「1抽中」~「99抽中」。其中每个「x抽中」都是不一样的事件，但是这99个事件会 share 掉机率和，因为你在一百抽内一定会中奖所以只是分成99种状况讨论。
而主楼说的
「1抽中」六星的机率是因为一抽中0.02
「52抽中」这件事的机率则是0.98^50×0.96×0.06大约为0.02才这幺说的
再者期望值的定义是事件数字×机率再将所有状况总和而来，所以算式是

「1抽中」的1乘以机率0.02 加上
「2抽中」的2乘以机率0.98×0.02加上
....
「99抽中」的99乘以这件事的机率
的总和才是期望值（我没验算过是否与主楼一样只是楼主讲的符合逻辑就相信他XD）

原本想在三楼留言的不小心打太多
楼主的计算蛮清晰的推个

西格纳尔： 03-28 15:30

嘛……对他把相关事件跟事件混带着算期望值了，事实上陆服大佬早就算过普池六星期望值是35抽

西格纳尔： 03-28 15:32 编辑

我自己是只做保底机率回归，用机率去推连续抽卡出货率而已，没去算抽数期望值(因为我懒)，但结论上来说，跟陆服的结果完全一致。

xdtroll： 03-28 16:40

唔，大概懂了，感谢说明

h86625 (诗怀雅的小白脸) #5 2021-03-28 12:19:47

请问94从哪算来的

a117034130a (五十块的好兄弟) #6 2021-03-29 17:26:02

单up是50%
一个六星期望值在33抽-35抽之间
单up出当期六星期望值不应该在68左右吗

AlfaZinc2 (Alfa) #7 2021-03-29 23:50:54

此文章已由原作者(AlfaZinc2)删除

AlfaZinc2 (Alfa) #8 2021-03-29 23:53:11

若要计算「在第 n 抽时，才抽到所有要抽的六星角色」之机率分布 (n 为正整数，範围从 1 到无限大)，这问题本身不容易直接处理，因此我决定先将此机率分布拆解成数个较容易计算出来的机率分布，再将其经由某些运算，叠加成欲求的机率分布

关于「在第 n 抽时，才抽到所有要抽的六星角色」之机率分布，事实上可以被看做 ∑「抽到第 i 个六星时，才抽到所有要抽的六星角色」的机率 *「抽第 n 抽时，才抽到第 i 个六星」之机率分布，其中 i 的範围是从 1 到无限大，n 的範围则随着 i 的不同而有不同，当 i = 1 时，n 的範围是从 1 到 99，当 i = 2 时，n 的範围是从 1 到 198，以此类推 (n 的範围之所以有上界，是因为方舟的卡池有六星保底机制)。根据上面的式子，若能求出 i 在各值时「抽到第 i 个六星时，才抽到所有要抽的六星角色」的机率与「抽第 n 抽时，才抽到第 i 个六星」的机率分布，即可计算出「在第 n 抽时，才抽到所有要抽的六星角色」之机率分布

然而在实际计算时，由于 i 的範围没有上界，因此需要计算出无限多个机率分布，才有办法计算出欲求的机率分布，但这是不可能的，所以需要设定一个 i 的计算上限来计算量，使得计算变成可行。好消息是当 i 大于一定值后，其所生成之机率分布的面积将趋近于 0，也就是说在实际计算时，可以将 i 大于一定值的状况省略

接下来就是实作的部分了，这边以双 up 卡池两个 up 六星都要抽到的情况当作範例，下面是 MATLAB 程式码

close all; clear; clc;

p= #91;0.25 0.25 #93;; %目标机率占六星总机率的比例

n=length(p);

up_bound=1000; %作图时的上限

m=30; %六星的最大抽取数

k=1:m;

y0=zeros(1,m);

for i=1:n

x=sum(Combination(p,i),2);

y0=y0+(-1)^(i+1)*sum(x.*(1-x).^(k-1),1);

endfor

figure(1)

plot(k,y0, #039;ob #039;)

%print -dpng #039;01.png #039;

y1= #91; #93;;

for i=1:99

if i lt;=50

p=0.02*0.98^(i-1);

y1= #91;y1 p #93;;

else

p=0.02*(i-49);

for j=1:i-51

p=p*(0.98-0.02*j);

endfor

p=p*0.98^50;

y1= #91;y1 p #93;;

endif

endfor

figure(2)

plot(1:99,y1, #039;- #039;)

hold on

%print -dpng #039;02-1.png #039;

Y0=zeros(1,99*m);

Y0(1:99)=y1*y0(1);

y2=y1;

for i=2:m

M=y1 #039;*y2;

y2=zeros(1,98*i+1);

for j=1:99

y2(j:j+98*(i-1))=y2(j:j+98*(i-1))+M(j,:);

endfor

Y0(i:99*i)=Y0(i:99*i)+y2*y0(i);

figure(2)

plot(i:99*i,y2, #039;- #039;)

endfor

%print -dpng #039;02-2.png #039;

figure(3)

plot(1:min(up_bound,99*m),Y0(1:min(up_bound,99*m)), #039;-b #039;)

hold on

%print -dpng #039;03-1.png #039;

Y1=zeros(1,99*m);

for i=1:99*m

Y1(i)=sum(Y0(1:i));

endfor

figure(4)

plot(1:min(up_bound,99*m),Y1(1:min(up_bound,99*m)), #039;-b #039;)

hold on

%print -dpng #039;04-1.png #039;

然后是程式的执行结果

「抽到第 i 个六星时，才抽到所有要抽的六星角色」的机率分布

「抽第 n 抽时，才抽到第 i 个六星」的机率分布，最左边的图形是 i = 1 时的机率分布，向右依次是 i = 2、3、4、... 时的机率分布

「在第 n 抽时，才抽到所有要抽的六星角色」的机率分布

下面是在各种状况下，各机率分布的一些统计量

我这边需要说明一下，由于程式计算出的机率分布与实际的机率分布间会有些微差异，因此这些计算出的统计量也会与实际的统计量有些微差异

我还另外做了一个抽卡模拟器，生成了一千万笔随机样本，用这些样本去估计机率分布函数在各点的值，下面是部分程式码

y0= #91; #93;;

l=length(p2);

for i=1:n

C=0; %总抽卡数

G=0; %连续未抽到六星的次数

cop=zeros(1,l); %是否抽到指定的六星

while min(cop)==0

C=C+1;

G=G+1;

r=rand(1);

if G lt;=50 r lt;p1

for j=1:l

if r gt;=p1*sum(p2(1:j-1)) r lt;p1*sum(p2(1:j))

cop(j)=1;

break

endif

endfor

G=0;

elseif G gt;50 r lt;p1+0.02*(G-50)

for j=1:l

if r gt;=(p1+0.02*(G-50))*sum(p2(1:j-1)) r lt;(p1+0.02*(G-50))*sum(p2(1:j))

cop(j)=1;

break

endif

endfor

G=0;

endif

endwhile

y0= #91;y0 C #93;;

endfor

以及样本估计出的机率分布

看较旧的 2 则留言

乐路： 03-30 14:36

你这好看多了，一楼我看了半天(量词)还是看不懂

乐路： 03-30 14:41

应用上，跟我理解的差不多:大部分的人35抽出货;单吊1pu三次出货内中(约100抽);双PU毕业184抽内。换句话说抽超过的人已经脸黑,最好停止留待下次再抽,以免影响游戏体验

Alfa： 03-30 14:51

[bill770513:乐路] 感谢，不过我这边没有去计算期望值、中位数、标準差之类的统计量，我之后再补上好了，要先等我下班回家w

yingru (夏意) #9 2021-03-30 00:41:52

【】自己写的DC抽卡机器人

这是我半年多以前写的碗糕

我本来是还想要写个全图鉴模拟啦，不过弄完算1000次抽抽的指令之后就耍废了。

然后1楼你跑去算的那个不是期望值，而是分布中位。

我上面这个平均抽数才是期望值。

shawbshawb： 03-30 12:34

EXP是期望值没错~

乐路： 03-30 13:15

[shawb:shawbshawb]到底是要纯数统的EXP还是机会成本分析的EV?一楼已经搞混了

kilito8254 (Kirito) #10 2021-03-30 17:45:28

「以数学分析方舟抽卡出货这件事」的留言: 算这个也没用

「玄学抽卡」的留言: 讚啦

难怪会有这种文 = gt;「史特尔特大爆死的玻璃心半新手玩家的诉苦」

看较旧的 7 则留言

KAStill： 03-30 22:36 编辑

[kilito8254:Kirito]好这样我懂你意思了，存抽确实有用没错，我还满常课的所以没想到存抽，我都是加码W

乐路：前天 10:43 编辑

说的，我是台服开服玩家，一开始就锁定要抽阿(不用怀疑)所以一直存抽，中间大概只用掉50抽吧，结果年池是梭哈162抽才毕业的，如果我不存那就课定了

乐路：前天 10:44 编辑

然后发现无课不容易存抽，接下来目标是W，首储优惠我都还没用掉，但开始课小月卡存，导致我煌、风笛、莱恩哈特通通不敢抽，最多就10抽试手气而已

TAG: 方舟数学分析这件事

《明日方舟》【情报】以数学分析方舟抽卡出货这件事

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